Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Operace s vektory

Předpokládejme vektory a , které spolu svírají úhel φ, dále předpokládejme číslo κ. V následujících odstavcích popíšeme operace mezi vektory a mezi vektory a čísly.  Pokud bude výsledkem vektor, zapíšeme ho ve tvaru , pokud bude výsledkem číslo, zapíšeme ho ve tvaru čísla c.

Sčítání vektorů (vektorový součet a rozdíl)

Pomocí souřadnic získáme vektorový součet nebo rozdíl operací

Z obr. vyplýva jak provést vektorový součet graficky. Ze stejného obr. vyplýva jak provést graficky vektorový rozdíl, pokud si uvědomíme, že .

Násobení vektoru číslem

Výsledkem násobení vektoru číslem je vektor

.

Výsledný vektor je směrově stejný s původním vektorem , přičemž se prodlouží pokud , zkrátí pokud .

Skalární součin

Skalární součin je součin dvou vektorů, jehož výsledkem je číslo (skalár). V souřadnicovém zápisu je skalární součin

Skalární součin lze vypočítat pomocí velikosti vektorů a vzájemného úhlu vektorů φ

.

Z výše uvedených rovnic vyplýva že

Vektorový součin

Výsledkem vektorového součinu je vektor kolmý na oba výchozí vektory. V souřadnicovém zápisu je vektorový součin

Velikost vektorového součinu lze vypočítat pomocí velikost vektorů a vzájemného úhlu vektorů φ

.

Z výše uvedených rovnic vyplývá, že      

Pokročilejší operace s vektory

Dvojnásobný vektorový součin

Smíšený součin vektorů

Úloha

Verbální zadání:

Na těleso, které se pohybuje po přímé dráze, působí proměnná síla. Tato síla má směr dráhy, přičemž hodnota této síly je na počátku měření 5 N. Dále síla rovnoměrně roste tak, že se její velikost na každém metru zvětší o hodnotu 2 N·m-1. Vypočítejte práci, kterou síla vykoná po dráze 16 m.

 

Matematizované zadání:

F0 = 5 N ; k = 2 N·m-1 ; s0 = 0 m ; sk = 16 m

W = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Velikost mechanické práce lze vyhodnotit jako plochu pod křivkou (grafické závislosti působící síly na dráze). Velikost plochy pod křivkou lze určit pomocí integrálu.

Obecný a konkrétní výsledek:

 

Odpověď: Mechanická práce je skalární fyzikální veličina. Kvalitativně obecně ji lze vyhodnotit jako skalární součin dvou vektorů, a to vektoru lineárně proměnné síly a vektorové přímky, ve které leží dráha pohybujícího se tělesa. Kvantitativně konkrétně jde o mechanickou práci 336 J.

Problém

Verbální zadání:

Určete skalární a vektorový součin vektorů , ležících v téže rovině z = 0.

Návod řešení:

Pro skalární součiny jednotkových vektorů i, j, k , které leží v souřadných osách x,y,z, platí:

Pro vektorové součiny jednotkových vektorů i, j, k , které leží v souřadných osách x,y,z, platí:

 .

Skalární součin dvou vektorů, konkrétně pro 2D prostor, je číslo.

Vektorový součin dvou vektorů, konkrétně pro 2D prostor, je vektor c, který má:

  1. velikost - rovná se plošnému obsahu rovnoběžníku sestrojeného nad vektory a a b,
  2. směr - leží ve vektorové přímce kolmé na rovinu tohoto rovnoběžníku,
  3. orientaci - podle pravidla pravé ruky: „prsty pravé ruky dáme ve směru prvního vektoru a a ztotožníme je ve směru druhého vektoru b, potom vzpřímený palec udává směr výsledného vektoru c“, tj. .

Závěr:

Ve 2D prostoru platí, že výsledkem skalárního součinu je skalár, tj. číslo (pro 3D prostor jsou az, bz  složky vektoru v konkrétně řešeném případu nulové):

Ve 2D prostoru platí, že výsledkem vektorového součinu je vektor (pro 3D prostor jsou az, bz složky vektoru v konkrétně řešeném případu nulové):

Aplikace

Nejfrekventovanější aplikací skalárního součinu je výpočet mechanické práce.

Nejfrekventovanější aplikací vektorového součinu je výpočet momentu síly vzhledem k ose otáčení.