Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Vztažná (referenčnísoustava je zvolená skupina vztažných těles (nebo jediné vztažné těleso), které jsou vůči sobě v  klidu, anebo jsou ve vzájemném zadaném (predikovaném) pohybu.  Poloha a  pohyb zkoumaných těles jsou tedy určovány vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Volba vztažné soustavy představuje volbu relativně „pevných“  bodů v prostoru, které jsou vzájemně v  klidu, anebo ve vzájemně zadaném pohybu.

Vzhledem k tomu, že klid nebo pohyb je závislý na volbě vztažné soustavy, je tento pohybový stav  relativní. To znamená, že i klid je relativní, neboť je vždy nutno uvést vztažnou soustavu, vzhledem ke které je těleso v klidu či v zadaném pohybu. Pojem klidu nebo pohybu tělesa je relativní a je fyzikálně závislý na volbě vztažné soustavy.

Inerciální (setrvačná) vztažná soustava je taková soustava, v níž platí  Newtonovy pohybové zákony pro volnou částici v nejjednodušším tvaru, tj. pohyb volné částice je zjednodušeně uvažován jako pohyb rovnoměrný přímočarý. Každá soustava, která se vzhledem k inerciální vztažné soustavě pohybuje  rovnoměrně přímočaře nebo je vzhledem k této soustavě v  klidu, je také inerciální soustavou.

Neinerciální vztažná soustava je taková soustava, v níž platí  Newtonovy pohybové zákony pro volnou částici ve složitějším tvaru, tj. pohyb volné částice je uvažován jako pohyb nerovnoměrný, děje se vzhledem k nějaké inerciální soustavě se zrychlením.

Vztažná soustava a souřadnicová soustava nejsou zaměnitelné, vztažná soustava je fyzikálního charakteru, souřadnicová soustava je matematicky popisného charakteru, takže v dané vztažné soustavě lze použít libovolný souřadnicový systém. Obvykle se volí takový systém souřadnic, který popis daného pohybu co nejvíce zjednodušuje.

U každé prostorové soustavy souřadnic musí být definována základní rovina procházející počátkem soustavy souřadnic a základní směr.

Podle polohy počátku (středu) souřadnicové soustavy můžeme rozlišovat souřadnice:

  • topocentrické (počátek je v místě pozorování),
  • geocentrické (počátek je ve středu Země),
  • heliocentrické (počátek je ve středu Slunce),
  • selenocentrkké (počátek je ve středu Měsíce),
  • jovicentrické (počátek je ve středu Jupitera) aj.

Podle vztahu užitých délkových a úhlových parametrů rozeznáváme různé typy soustav souřadnic, neužívanější jsou: k artézská, polární, s férická, cylindrická.

Kartézská (pravoúhlá) soustava souřadnic je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě, tj. počátku soustavy souřadnic. Jednotka bývá obvykle volena na všech osách stejně velká, ale může být i jiná na různých osách, a to s ohledem na potřeby názorného zobrazení v daném prostoru. Jednotlivé souřadnice polohy každého bodu lze získat jako kolmé průměty polohy k jednotlivým souřadným osám.


Kartézské souřadnice v prostoru.

Polární soustava souřadnic je po kartézské soustavě souřadnic nejužívanější, ale jde pouze o rovinnou soustavu souřadnic. Jedna souřadnice (označovaná jako průvodič r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná jako polární úhel φ) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa x kartézských souřadnic).


Polární souřadnice v rovině.

Válcová soustava souřadnic je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice ϱ udává vzdálenost bodu od osy z, druhá souřadnice φ udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny xy od zvolené osy x a třetí souřadnice z polohu bodu na ose z.


Válcové souřadnice v prostoru.

 

Sférická soustava souřadnic je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice ϱ udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice φ udává úhel průmětu průvodiče bodu do roviny xy od osy x a třetí souřadnice ϑ úhel průvodiče od zvolené roviny xy, respektive od osy z.


Sférické souřadnice v prostoru.

Úloha

Verbální zadání:

Hmotný bod se pohybuje v rovině  xy  po dané křivce podle obr.

Určete změnu polohového vektoru Δr při průchodu polohami 2 a 3.

Matematizované zadání:

Polohy hmotného bodu v rovině lze vyjádřit pomocí polohového vektoru:

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Obecný a konkrétní výsledek:

 

Odpověď:

Konkrétní výsledek lze komparovat s obr. Změna polohového vektoru je vektor o souřadnicích 1 díl jednotky měření vzhledem k ose x a -2 díly jednotky měření vzhledem k ose y

Problém

Verbální zadání:

Převeďte polární souřadnice, sférické a cylindrické souřadnice na souřadnice kartézské a naopak.

Návod řešení:

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

Převod kartézských souřadnic na polární:

  

Táto převodní funkce však funguje jen na intervalu .

Transformace sférických souřadnic bodu na kartézské souřadnice:

Převod kartézských souřadnic bodu na sférické souřadnice:

kde arctg2(x,y)  je zobecnění funkce  arkus tangens.

Úhly volíme v rozsahu a.

Transformace válcových souřadnic na kartézské:

Převod kartézských souřadnic na válcové:

kde arctg 2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens.

Závěr:

Mezi jednotlivými systémy souřadnic lze přecházet určitou matematickou  transformací souřadnic, která opět nemění vztahy fyzikálních veličin, mění jen vlastnosti jejího popisu. Například pro popis pohybu planet ve vztažné soustavě heliocentrické je možné použít jak  kartézský,  sférický nebo  cylindrický systém souřadnic.

Aplikace

Nejčastěji je v přírodovědě a v technické praxi používaná kartézská soustava souřadnic, která bývá v matematické a fyzikální konvenci užívaná buď jako pravotočivá, anebo jako levotočivá.

Polární soustava souřadnic je rovněž často užívaná, a to v případech takových rovinných pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálenost mění s nějakou relativně velmi jednoduchou závislostí.

Sférická a válcová soustava souřadnic je výhodně použitelná pro řešení problémů sférické a válcové symetrie.