Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Trajektorie je geometrická čára v  prostoru (jednodušeji v rovině, v přímce), kterou opisuje hmotný bod (těžiště tělesa) při svém pohybu v daném časovém intervalu. Tvar trajektorie je závislý na volbě  vztažné soustavy, takže trajektorií může být přímka, anebo křivka (kružnice, elipsa, spirála apod.). Specifický tvar trajektorie nám pak umožňuje kvalitativně klasifikovat pohyby na přímočaré a  křivočaré.

Dráha s  je délka trajektorie, tj. skalární fyzikální veličina, jejíž velikost se při pohybu v čase mění, tj. . Jde tedy pouze o vzdálenost, kterou hmotný bod (těžiště tělesa)  opíše za určitou dobu, značí se obvykle s, případně dráha jako vzdálenost  d nebo délka l. Dráha se měří se v soustavě SI v metrech, případně v dekadických násobcích nebo dílech metru.

Trajektorii lze rovněž definovat jako spojnici všech poloh, kterými prochází koncový bod polohového vektoru , tj. . Vektorem je pak posunutí, které má na rozdíl od dráhy směr, protože vyjadřuje změnu polohového vektoru za určitý čas pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa). Posunutí je dáno pouze počátečním a koncovým bodem pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) jakožto spojnice bodů „start-cíl“ pohybu, a to bez ohledu na absolvovanou dráhu a trajektorii daného pohybu za čas pohybu.

Rovněž je třeba odlišit trajektorii, dráhu a posunutí od grafického popisu závislosti dráhy na čase, tj. od časového rozvinutí dráhy.

Kinematický popis důsledků pohybu není dynamickým popisem příčin pohybu, tj. pouhý grafický záznam pohybu nezahrnuje vysvětlení působení všech vnějších sil jako příčin pohybu. Teoreticky obecně může jít o jakýkoliv grafický záznam toho, jak se dráha mění v čase, např. časové rozvinutí velikosti dráhy při padání listu ze stromu za působení proměnného větru, anebo seismografický záznam výchylek otřesů země při zemětřesení (země se chvěje tak, že v určitých časových intervalech jsou amplitudy jakožto dráhové výchylky nad standardní (klidovou) nulovou potenciální dráhovou hladinou a v jiných časových intervalech jsou amplitudy jakožto dráhové výchylky pod standardní nulovou potenciální dráhovou hladinou), aniž víme, jaký byl časový průběh geologických sil.                                       

Úloha

Verbální zadání:

Pohyb těžiště tělesa je popsán pomocí rovnice . Vypočítejte, jakou dráhu urazí těleso za 3s.

 

Matematizované zadání:

 ; t = 3s

s = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Úloha je dána pouze matematickým popisem závislosti velikosti dráhy na čase.

Obecný a konkrétní výsledek:

  

 

Odpověď:

Dráha je délka trajektorie měřená v určitém čase pohybu. V daném souřadném systému závislosti velikosti dráhy na čase daná velikost dráhy s časem kubicky roste. Řešením kubické rovnice pro s = 0 m zjistíme, že velikost dráhy byla nulová přibližně až v čase 1,5 s po začátku měření daného pohybu. Na počátku měření v čase t = 0 s byla velikost dráhy „záporná“, tj. -7,5 m; v době t = 1 s nabyla velikost dráhy hodnoty -1,3 m vůči nulové potenciální dráhové hladině, v době t = 2 s už nabyla kladné hodnoty 1,8 m a v době t = 3 s nabyla velikost dráhy žádanou hodnotu 3 m.

Problém

Verbální zadání:

Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most ve směru kolmém na tok řeky tak, aby cesta z obce A do obce B, které leží na různých stranách řeky mimo její břehy, byla nejkratší. Předpokládejte, že šířka řeky se v odpovídajícím úseku řeky nemění.

Návod řešení:

Úlohu řešte pomocí „posunutí“. Ověřte měřením podle obr., že délka červené čáry je z ukázkových 3 čar nejkratší.

Závěr:

Trajektorie daného pohybu je popsána 3-mi na sebe navazujícími úsečkami, dráha je měřitelná jako délka těchto tří na sebe navazujících úseček, zatímco fyzikální posunutí je vektor spojující počátek a konec pohybu, tj. body A,B. Je tedy třeba odlišit posunutí ve smyslu geometrickém od posunutí ve smyslu fyzikálním.

Vysvětlete postup vyhodnocení optimální délky trasy AB podle obrázku, a to pomocí posunutí v geometrickém smyslu.

Aplikace

V přírodě i v technické praxi jsou trajektorie pohybů těles složité, nejčastěji nejde o jednoduché přímky nebo křivky, protože pohyby těles se dějí převážně jako pohyby složené. Např. kolo automobilu se pohybuje translačně a rotačně současně. Na obr. je modrou barvou vyznačena trajektorie bodu na obvodu kola automobilu. Všechny charakteristiky pohybu součástí automobilu jsou důležité pro automobilový průmysl, a to s ohledem na optimalizační požadavky konstruktérství, zejména na bezpečnost vozidel.

V přírodě koná přímočarý pohyb např. dešťová kapka padající za bezvětří k zemi, ale většina ostatních pohybů, které se dějí za spolupůsobení odporových sil, jsou většinou křivočaré a řeší je balistika. Na snímku je vyfotografována trajektorie meteoritu, který proletěl nad Čeljabinskem roku 2013 a schéma trajektorie střely.