EN | O projektu | Literatura | VŠB-TUO
Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Dráhovou rychlost definujeme fyzikálně obecně jako změnu dráhy v čase, tj. matematicky jako 1. derivaci dráhy podle času. Odlišujeme průměrnou rychlost od rychlosti okamžité:

∆s … změna dráhy [m];

s1, s2 … počáteční a konečná dráha tělesa [m];

Δt  … změna času [s];

t1, t2 … čas měřený na počátku a konci děje;

 … průměrná rychlost tělesa [m·s-1];

 … okamžitá rychlost tělesa [m·s-1].

Dráhové zrychlení definujeme fyzikálně obecně jako změnu rychlosti v čase, tj. matematicky jako 1. derivaci rychlosti podle času, případně jako 2. derivaci dráhy podle času. Odlišujeme průměrné zrychlení od zrychlení okamžitého:

∆v … změna rychlosti [m·s-1];

v1 , v2 … počáteční a konečná rychlost tělesa;

 … průměrné zrychlení tělesa [m·s-2];

 … okamžité zrychlení tělesa [m·s-2].

Matematický model rovnoměrně přímočarého pohybu:
Matematický model rovnoměrně zrychleného pohybu:
Úloha

Verbální zadání:

Dráha pohybu hmotného bodu je dána závislostí na čase .

Napište rovnici rychlosti a určete pomocí této rovnice počáteční rychlost a čas, kdy je hmotný bod v klidu.

Napište rovnici zrychlení a určete pomocí této rovnice počáteční zrychlení a čas, kdy na hmotný bod nepůsobí žádná síla.

 

Matematizované zadání:

v = ? ; v0 = ? ; ;  a = ? ; a0  = ? ;

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

… rychlost v hmotného bodu obecně jako změna dráhy v čase;

 … zrychlení a hmotného bodu obecně jako změna rychlosti v čase.

Je-li t = 0 s, pak řešíme stav na počátku měření, tj. počáteční rychlost v0, resp. počáteční zrychlení a0.

Jestliže se hmotný bod nepohybuje, tak řešíme čas pohybového klidu pomocí anulované rovnice rychlosti.

Jestliže na hmotný bod nepůsobí žádná síla, tak řešíme čas silového klidu pomocí anulované rovnice zrychlení.

Obecný a konkrétní výsledek:

  

 

 Je-li t = 0 s, pak ; a0 = - 4 m·s-2

 

Odpověď:

Hmotný bod má počáteční rychlost 8 m·s-1 při počátečním zpomalení 4 m·s-2. V čase 4 s nebude na hmotný bod působit žádná síla a hmotný bod se v tuto chvíli zastaví.

Problém

Verbální zadání:

Je třeba odlišit tzv. aritmetický průměr od fyzikální definice průměrné rychlosti. Příklad: automobil projede první polovinu své dráhy průměrnou rychlostí 70 km·h-1, druhou polovinu průměrnou rychlostí 30 km·h-1. Vypočtěte průměrnou rychlost automobilu na celé dráze jeho pohybu.

Návod řešení:

Nelze matematicky sečíst dílčí rychlosti a vydělit součet počtem těchto dílčích rychlostí (rychlost automobilu není 50 km·h-1). Je třeba postupovat podle fyzikální definice rychlosti jakožto střední hodnoty rychlosti, kterou se těleso pohybuje v daném čase.

Závěr:

Obdobně ve fyzice řešíme střední hodnotu zrychlení (průměrné zrychlení) jakožto celkovou rychlost za celkový čas pohybu a nikoliv jako aritmetický průměr dílčích zrychlení.

V matematice existují kromě aritmetického průměru i jiné průměry, například průměr geometrický nebo průměr vážený; ve statistice nemusí být vždy statistický soubor reprezentován aritmetickým průměrem dílčích hodnot, může být reprezentován jinými středními hodnotami, např. střední hodnotou modus nebo medián.

Aplikace

Rychlost je vektorová fyzikální veličina, která má velikost, směr (tečny k trajektorii) a jednotku měření m·s-1. V technické praxi je rychlost pohybu objektu velmi důležitý parametr, slouží mj. ke komparaci dráhové změny v čase u různých objektů.

Například rychlost Země kolem Slunce je v perihéliu (přísluní) přibližně 30,3 km·s-1, v afeliu (odsluní) 29,5 km·s-1. Zjednodušeně lze s ohledem na délku a tvar trajektorie pohybu považovat pohyb Země kolem Slunce za rovnoměrný pohyb po kružnici, obdobně jako u planet Merkur, Venuše a Mars. Jupiter, Saturn, Neptun, Uran se pohybují po velmi výstředných elipsách kolem Slunce (Pluto přestalo být od roku 2006 považováno za planetu Sluneční soustavy).

Pro srovnání například 1. kosmická rychlost, kterou potřebuje dosáhnout těleso relativně  zanedbatelné hmotnosti vůči hmotnosti Země (kosmická raketa), aby obíhalo (jako umělý satelit nebo Měsíc) po kruhové trajektorii kolem Země, je na úrovni povrchu planety přibližně 7,9 km·s-1. Minimální úniková rychlost z dosahu gravitačního působení Země je přibližně 11,2 km·s-1, kosmická raketa by přestala být oběžnicí Země a stala se oběžnicí Slunce (zatím známe výpočty pro 6. kosmických rychlostí).

Zrychlení je vektorová fyzikální veličina charakterizující pohyb, popisuje časovou změnu rychlosti. Rychlost se měří v technice rychloměry. Tachometry jsou palubní přístroje určující rychlost pohybu vozidla na základě frekvence otáčení hnacích kol. Základem funkčnosti je ohebným hřídelem poháněný otáčkoměr hnacích kol pracující na magneto induktivním principu nebo  pracující s vířivými proudy vyvolávanými rotujícím magnetickým polem.

Ryv je vektorová  fyzikální veličina rovněž charakterizující  pohyb, popisuje méně užívanou časovou změnu  zrychlení.

V lékařství například některé typy zranění (pády do vody, rázy v dopravních prostředcích) popisují silový účinek pomocí ryvu účinněji než pomocí zrychlení. Lidský rovnovážný orgán ve vnitřním uchu je citlivý nejen na zrychlení, ale i na ryv (ryv je řešen při návrhu pohody cestujících v dopravních prostředcích).

CNC stroje mají uveden maximální ryv jako jeden z parametrů charakterizující možnosti pohonů. Algoritmus časové parametrizace vyžaduje výpočet kartézských souřadnic [𝑡,[𝑥, 𝑦, 𝑧]], rychlostí [𝑡,[𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧]], zrychlení [𝑡,[𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧]] a ryvu [𝑡,[𝑗𝑥,𝑗𝑦,𝑗𝑧 v operačním prostoru, aby mohla být provedena kinematická transformace získaných kinematických veličin do prostoru pohonů.

Například moderní CNC fréza KX3 na obr. je určena pro výrobu součástí menších rozměrů z železných i z neželezných kovů v modelářských dílnách, školních zařízeních a menších firmách.