O projektu | Literatura | VŠB-TUO
Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Úhlovou rychlost definujeme fyzikálně obecně jako změnu úhlu v čase, tj. matematicky jako 1. derivaci úhlu podle času, který při svém pohybu opíše průvodič hmotného bodu (těžiště tělesa). Odlišujeme průměrnou úhlovou rychlost od úhlové rychlosti okamžité:

∆φ … změna úhlu [rad];

φ1, φ2 … počáteční a konečný úhel [rad];

Δt  … změna času [s];

t1, t2 … čas měřený na počátku a konci pohybu;

 … průměrná úhlová rychlost pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) [rad·s-1];

 … okamžitá úhlová rychlost pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) [rad·s-1].

Úhlové zrychlení definujeme fyzikálně obecně jako změnu úhlové rychlosti v čase, tj. matematicky jako 1. derivaci úhlové rychlosti podle času, případně jako 2. derivaci úhlu  podle času, který při svém pohybu opíše průvodič hmotného bodu (těžiště tělesa). Odlišujeme průměrné úhlové zrychlení od úhlového zrychlení okamžitého:

 

∆ω … změna úhlové rychlosti [rad·s-1];

ω1 , ω2 … počáteční a konečná úhlová rychlost [rad·s-1];

 … průměrné úhlové zrychlení pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) [rad·s-2];

 … okamžité zrychlení tělesa pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) [rad·s-2].

Úhlová rychlost jako fyzikální veličina kinematicky popisuje otáčivý pohyb tělesa jako tzv. pseudovektor ve 3D prostoru, je dána rozměrově úhlem opsaným za čas a má stejný rozměr jako úhlová frekvence. Úhlovu rychlost však nelze zaměňovat za úhlovou frekvencí, která je přímo skalárem (s jednotkou měření Hz = s-1). V některých případech prostorových pohybů lze definovat úhlovou rychlost jako  vektorovou veličinu, pokud je vektor úhlové rychlosti kolmý k rovině tvořené  polohovým vektorem a vektorem dráhové rychlosti. Vektory úhlová rychlost, polohový vektor a dráhová rychlost pak tvoří  pravotočivou soustavu, vektor úhlové rychlosti má směr osy rotace.

Pomocí známých hodnot úhlových rychlostí je možné rovněž vyhodnocovat velikosti dostředivé a odstředivé síly, tj. síly Fn ležící ve vektorové přímce normály k tečně v daném bodu trajektorie

                                       

Úloha

Verbální zadání:

Po kružnici o poloměru 2 m se pohybuje těleso o hmotnosti 0,2 kg tak, že jeho dráha pohybu je dána kubickou časovou závislostí. Určete sílu působící na toto těleso v čase 2 s.

 

Matematizované zadání:

; R = 2 m; m = 0,2 kg; t = 2 s;

F = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

… tečná složka dráhové rychlosti;

… tečná složka dráhového zrychlení;

… normálová složka zrychlení (pro trajektorii kružnice o poloměru R);

… celkové zrychlení lze vypočítat geometricky Pythagorovou větou;

…  síla působící na těleso.

Obecný a konkrétní výsledek:

… tečná složka dráhové rychlosti v čase 2 s;

… tečná složka dráhového zrychlení v čase 2 s;

… normálová složka zrychlení (pro trajektorii o poloměru R);

… celkové zrychlení pohybu v čase 2 s;

… síla působící na těleso v čase 2 s.

 

Odpověď:

Působící síla je časově proměnná (kvadraticky), přičemž v čase 2 s má velikost přibližně 58 N.

Problém

Verbální zadání:

Určete vzájemné vztahy obecně platné mezi dráhovými a úhlovými veličinami.

Návod řešení:

Využijeme geometrickou definici radiánu jako jednotky úhlu pomocí dráhy vztažené k poloměru křivosti R (kladný směr odečtu úhlu volíme kladně, tj. proti směru hodinových ručiček). Po provedení časové změny (po 1. derivování) pak získáme analogický vztah mezi rychlostí dráhovou a úhlovou; po dalším provedení časové změny (po 2. derivování) pak obdržíme analogický vztah mezi zrychlením dráhovým a zrychlením úhlovým.

Závěr:

Aplikace

Například koncové body minutových (nebo hodinových) ručiček všech hodin mají stejnou úhlovou rychlost, a to při různé obvodové rychlosti jejich konců. Z tohoto praktického pohledu má úhlová rychlost vyšší vypovídací schopnost o rotačním pohybu než rychlost dráhová.

Kontaktní otáčkoměry umožňují rotační pohyb snímat buď v ose otáčení nebo po jejím obvodu. V případě snímání po obvodu je pak možno měřit i obvodovou rychlost, a to nejen u rotujících součástí, ale rovněž u součástí pohybujících translačně (lze např. stanovit rychlost posuvu dopravníkového pásu).

Otáčkoměr v automobilu nebo motocyklu je dnes součástí běžného vybavení vozidel, aby řidič nemusel jezdit „podle sluchu“ a přístroj ho informoval o aktuálních otáčkách motoru.

Otáčkoměr Jawa 640

 

Zatáčkoměr na palubě letadla je přístroj, který využívá vlastnosti roztočeného setrvačníku zavěšeného v pevném rámečku. Zatáčkoměr ukazuje úhlovou rychlost otáčení letadla okolo svislé osy. Stupnice je obvykle udávána ve ° za sekundu. Pokud je na zatáčkoměru uvedeno „2 min“, tak to znamená, že pokud bude ručička na této značce (tedy 3° za sekundu), letadlo vykoná plnou otočku – zatáčku 360° za dvě minuty.

 

Optický otáčkoměr vysílá trvale nepřerušovaný světelný paprsek (nejčastěji laserový). Paprsek dopadá na speciální odrazku, nalepenou na rotující součásti, při dopadu se odrazí zpět a odražený paprsek je pak sejmut optikou otáčkoměru. Po převedení na elektrické    impulsy jsou tyto impulsy čteny přesným čítačem, který je řízen krystalem. Frekvence elektrických impulsů je vyhodnocována a výsledek je zobrazen na digitálním displeji. Měření je jednoduché, spolehlivé a nezávislé na vlastnostech lidského oka v rámci žádaného měřicího rozsahu, takže nahrazuje stroboskop.