O projektu | Literatura | VŠB-TUO
Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Časové změny základních kinematických veličin: dráha - rychlost - zrychlení umožňují přestup k základní dynamické veličině síla, tj. přechod od kinematiky k dynamice, resp. přesněji kinematika je organickou, specifickou součástí dynamiky. Kinematika dává odpověď na otázku JAK se hmotné body (těžiště těles) pohybují, dynamika dává odpověď na otázku PROČ, tj. v důsledku jaké příčiny se pohybují.  

Mezi translačním a rotačním pohybem existují formální analogie, které lze využít.

I.       Viz příklad rovnoměrně zrychleného pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa).

Dráze s translačního (posuvného) pohybu odpovídá úhel j  rotačního (otáčivého) pohybu, dráhové rychlosti v rodpovídá rychlost úhlová w, dráhovému zrychlení a odpovídá zrychlení úhlové e :

II.    Viz příklad rovnoměrného pohybu po kružnici hmotného bodu (těžiště tělesa).

Dráha s odpovídá délce kružnice o poloměru r, tj. s = , přičemž úhel j  opsaný průvodičem r pak má velikost .

Dráhová rychlost v je dána velikostí, směrem a jednotkou měření.

Velikost vektoru dráhové rychlosti je sice konstantní, ale protože se v každém okamžiku mění směr tohoto vektoru, mění se vektor dráhové rychlosti jako celek. Změna směru vektoru má za následek vznik tzv. odstředivého zrychlení a odstředivé zrychlení odpovídá působení odstředivé síly. Podle 3. Newtonova zákona (zákona akce a reakce) vzniká současně stejně velká síla dostředivá, tato síla je důsledkem pohybu po kružnici a směřuje do středu otáčení.

Velikost dráhové rychlosti se nemění (v = konst.) a určíme ji jako délku oblouku  poloměru r, který opíše hmotný bod (těžiště tělesa) za dobu T (periodu) oběhu

.

Směr dráhové rychlosti se mění, proto platí .

Vektor rychlosti má vždy směr tečny v každém bodě trajektorie.

pohyb_po_kruznici

Oběžná doba (perioda) T je čas, za který hmotný bod (těžiště tělesa) při pohybu po kružnici opíše celý obvod kruhu o poloměru r, tedy dráhu .

Prostá frekvence (kmitočet) f je převracená hodnota periody (oběžné doby) T a vyjadřuje počet oběhů hmotného bodu (těžiště tělesa) po kružnici za časovou jednotku. Jednotkou frekvence je hertz (rozměr s-1).

.                                                                                         

Úhlová rychlost ω je definována jako úhel, který opíše průvodič za čas, tj. plný úhel (2π v míře obloukové, 360o v míře stupňové) je opsán za dobu jedné periody (oběžné doby) T

.     

Úhlová rychlost je konstantní, a proto je úhlové zrychlení nulové.

Mezi obvodovou rychlostí v a frekvencí f  pak platí vztah

                                                                                                        

Obdobně mezi úhlovou rychlostí a dráhovou rychlostí platí

.                                                                                       

Úloha

Verbální zadání:

Koule, která byla původně v klidu, začala v okamžiku 0 s rotovat s konstantním úhlovým zrychlením. Za časový interval 10 min nabyla rychlosti odpovídající frekvenci 2 s-1. Kolikrát se za tu dobu otočila?

 

Matematizované zadání:

v0 = 0 m·s-1 ; t0 = 0 s ; w = konst. ; t = 10 min = 600 s ; f = 2 s-1;

n = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

… počet otáček tělesa;

… úhel, který těleso opíše při rovnoměrně zrychleném rotačním pohybu;

… vztah mezi úhlovou rychlostí a úhlovým zrychlením;

… vztah mezi úhlovou rychlostí a prostou frekvencí.

Obecný a konkrétní výsledek:

  

 

Odpověď:

Koule se otočila za 10 min 600 krát.

Problém

Verbální zadání:

Určete velikost kinetické energie rotačního pohybu pevného tělesa na základě formálních analogií fyzikálních vztahů translačního a rotačního pohybu tělesa.

Návod řešení:

Kinetická energie translačního pohybu je důsledkem mechanické práce působící mechanickou silou na těleso po určité dráze a je přímo úměrná hmotnosti tělesa a druhé mocnině dráhové rychlosti tělesa.

Formální analogií fyzikální veličiny:

kinetická energie translačního pohybu WK trans je kinetická energie rotačního pohybu WK rot,

hmotnost tělesa m je moment setrvačnosti J,

dráhová rychlost v tělesa je úhlová rychlost w tělesa.

Závěr:

Formální analogie nelze považovat za teoretická odvození závislostí fyzikálních veličin (závislosti fyzikálních veličin lze pouze objevovat a verifikovat pomocí přírodních zákonů, které matematický aparát respektuje), ale jsou v mnoha případech názorné, logicky akceptovatelné a dobře použitelné při výpočtech.

Aplikace

Vysvětlete pohyb rotující kuličky na provázku, rotujícího kolotoče a brusného kotouče, pohyb CD v mechanice přehrávače (resp. počítače), pohyb Země kolem vlastní osy a přibližně i oběh Země kolem Slunce, pohyb setrvačníku, pohyb rotoru jako otáčející se součásti různých strojů ( elektrického motoru, čerpadla).

V technické praxi se setkáváme nejčastěji s kombinací pohybů rotačních a translačních. Vysvětlete princip ramena jeřábu a pojezdové kočky (jde o tzv. unášivý pohyb rotační jako relativní pohyb translační.)

Rameno o konstantní délce R se otáčí rovnoměrně kolem stálé osy O konstantní úhlovou rychlostí ω. Po ramenu se radiálním směrem posouvá objímka relativní rychlostí vr. Výsledná rychlost objímky se rovná vektorovému součtu rychlosti vr a u.