Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Hmotnost je skalární fyzikální veličina charakterizující těleso ve vztahu k translačnímu  pohybu, moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina charakterizující těleso ve vztahu k rotačnímu pohybu. Rotace (též rotační nebo otáčivý pohyb) čili otáčení je takový pohyb tuhého tělesa, při kterém se všechny body  tělesa otáčejí kolem jedné společné  osy se stejnou  úhlovou rychlostí. Trajektoriemi jednotlivých bodů tělesa jsou kružnice (nebo jejich části), jejichž středy leží na (okamžité) ose otáčení.

Moment setrvačnosti J0 tělesa vzhledem k ose o otáčení charakterizuje rozložení hmotnosti tělesa vzhledem k jeho ose rotace. Hodnotu J momentu setrvačnosti geometricky symetrického tělesa vůči určité jeho ose rotace najdeme v MFCh tabulkách (na obr. J0 obruče, válce, koule a tyče). Velikost momentu setrvačnosti jakéhokoliv tělesa J lze vypočítat pomocí infinitezimálního počtu, a to pro tělesa geometricky symetrická relativně jednoduše. Nejobecněji jde o součet elementárních momentů setrvačnosti všech n hmotných bodů tělesa o hmotnostech mk a ve vzdálenosti rk od osy rotace

Kinetická energie Ek tuhého tělesa při otáčivém pohybu je

,

kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a ω je úhlová rychlost, se kterou se těleso otáčí. Tuto kinetickou energii rotačního pohybu tělesa lze odvodit z vykonané mechanické práce

W... mechanická práce, kterou konáme [J];

EK ... kinetická energie rotačního pohybu, kterou těleso získá [J];

M ... moment síly, kterým působíme na těleso [N];

j ... úhel rotace [°];

J ... moment setrvačnosti tělesa [kg·m2];

e ... úhlové zrychlení tělesa [m·s-2];

t ... čas děje [s];

ω... úhlová rychlost tělesa [rad·s-1].

Lze nalézt formální analogii s odvozením kinetické energie translačního pohybu tělesa z vykonané mechanické práce

 

Úloha

Verbální zadání:

Určete moment setrvačnosti obdélníka o rozměrech a, b, a to vzhledem k ose, která prochází stranou b.

 

Matematizované zadání:

a ; b ;

J = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

 … moment setrvačnosti tělesa při rotaci o poloměru r =a ;

… element hmotnosti dm tělesa o hustotě ρ a elementárním objemu dV, který lze určit z konstantní zanedbatelné výšky h a elementární plochy dS=b·da.

Obecný a konkrétní výsledek:

 Þ 

 

Odpověď:

Moment setrvačnosti obdélníka o rozměrech a, b vzhledem k ose, která prochází stranou b je , přičemž obdélník považujeme za homogenní těleso, tj. hranol o zanedbatelně malé výšce h a zanedbatelně malé hmotnosti (hustotě).

Problém

Verbální zadání:

Vysvětlete Steinerovu větu, která se užívá v technice pro výpočet momentu setrvačnosti tělesa, jehož osa otáčení o´ neprochází těžištěm. Vysvětlete tuto větu na příkladu tyče otáčející se kolem svého konce.

Návod řešení:

… Steinerova věta platná obecně

J0 … moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o procházející T;

J … moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o´;

m … hmotnost tělesa;

d … kolmá vzdálenost těžiště (osy o) od osy o´, která je s osou o rovnoběžná;

l … délka tyče [m].

steiner

Závěr:

Konkrétně pro tyč otáčející se kolem svého konce platí

Aplikace

Při otáčení kolem pevné osy lze zvolit dva body tělesa, které jsou v  klidu. Tyto dva body určují přímku, která je osou rotace. Všechny body ležící na ose rotace jsou při tomto druhu pohybu v klidu. Při otáčení kolem pevné osy má osa stálý směr a všechny body tělesa kolem ní opisují kruhové oblouky se středem na ose otáčení. Všechny body tělesa mají stejnou úhlovou rychlost a stejné úhlové zrychlení. Klasickým příkladem pohybu kolem pevné osy je fyzické kyvadlo.

První kyvadlové hodiny sestrojil Christian Huyghens, které realizují přibližně harmonické kmity s přesností až tisíciny sekundy.

Pokud osa rotace mění svou polohu v prostoru, jde o otáčení kolem volné osy. Při obecném pohybu změní po určité době okamžitá osa rotace svou polohu v prostoru a nová poloha je s předchozí polohou obecně mimoběžná. Všechny  osy souměrnosti tělesa jsou volnými osami. Klasickým příkladem rotace přirozeného setrvačníku s volnou osou je rotace zeměkoule. Zemská osa je pro lidského pozorovatele zdánlivě stabilní, ale relativně se mění v časoprostoru z dlouhodobého hlediska.

Kromě tohoto pohybu vykonává zemská osa pohyb precesní a nutační. Precese zemské osy je krouživý  pohyb  zemské osy přibližně po plášti  dvojkužele, a to v důsledku zejména gravitačního působení  Měsíce a Slunce na zemské těleso. K (podélné) nutaci dochází proto, že slapové síly (příliv a odliv moře) se s časem mění a zrychlují a zpomalují  precesi.

 

Rotace R zeleně, precese P modře a nutace N červeně.