Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Mechanický oscilátor (např. elastický oscilátor jako závaží na pružině) je zařízení, které je schopno vykonávat kmitavý pohyb. Harmonický kmitavý pohyb můžeme vidět jako průmět rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici (lze ho matematicky popsat časovou závislostí sinus nebo kosinus).

Trajektorií kmitavého pohybu hmotného bodu (těžiště závaží) je úsečka. Hmotný bod prochází body obratu (BO) a rovnovážnou polohou (RP), přičemž v bodech obratu má maximální výchylku (amplitudu), nulovou rychlost a maximální zrychlení (zrychlení je vektor, v bodě obratu sice mění velikost zanedbatelně, ale o 180° mění směr). V rovnovážné poloze má naopak nulovou okamžitou výchylku, maximální rychlost (maximální velikost rychlosti) a jeho zrychlení je minimální až nulové.

Původní délka nezatížené pružiny je l0. Po zavěšení závaží na pružinu se v důsledku tíhy závaží pružina prodlouží o délku Δl. Pružinu poté stlačíme nebo natáhneme a elastický oscilátor začne vykonávat přibližně harmonické (netlumené) kmity. Proti tíhové síle FG především závaží (hmotnost pružiny považujeme vzhledem k hmotnosti závaží za zanedbatelnou) působí Hookova (deformační) síla pružnosti FP pružiny. Tato síla je maximální v BO při maximálním stlačení oscilátoru nebo při maximálním natažení oscilátoru, naopak je minimální v RP. 

V rovnovážné poloze nebo v klidové poloze oscilátoru jsou si tyto síly rovny co do velikosti, jen jejich směr je opačný (v důsledku 3. zákona síly akce-reakce). Materiálově geometrické vlastnosti pružiny vyjadřuje její tuhost k, prodloužení pružiny po zavěšení závaží Dy :

Elongaci (okamžitou výchylku) harmonického kmitavého pohybu lze charakterizovat pro kmity ve vertikálním směru pomocí goniometrické funkce y=y(t), pro kmity v horizontálním směru pomocí goniometrické funkce x=x(t).

x, y … souřadnice bodu M, jehož průmětem do osy y je N bod [m],

r, ym … poloměr kružnice, amplituda (maximální výchylka) pohybu [m],

T … perioda (doba 1 oběhu bodu M po kružnici a doba kmitu bodu N) [s],

t … průběžný čas děje [s],

w … úhlová rychlost pohybu [rad·s-1],

w t … fáze (úhel) harmonického pohybu [rad],

j … počáteční fáze, která je pro t = 0 s nulová (nenulová obecně) [rad].

Časové rozvinutí (průběh v čase) harmonického kmitavého pohybu (elastického oscilátoru) lze názorně a komparativně zaznamenat do společného grafu.

Průběhy elongace y, rychlosti v i zrychlení a jsou rovněž harmonické. Harmonicky se tedy musí měnit i síla F popisující kmitavý pohyb bodu (těžiště závaží) hmotnosti m:

V krátkém časovém intervalu nebo při velmi malém tlumení lze kmity oscilátoru popsat jako netlumené ideální kmity. V reálu se však po určité době se však vnější silou nebuzené kmity utlumí v důsledku působení vnějších odporových sil vždy.

Platí zákon zachování celkové mechanické energie vlastních kmitů elastického oscilátoru, tj. celková energie E harmonicky kmitajícího bodu je rovna součtu energie pohybové (kinetické) EK a potenciální (pružnosti) EP.

Celková energie E nezávisí na elongaci a okamžitých hodnotách v rychlosti a zrychlení a. Je konstantní, je funkcí opět konstant: hmotnosti m a amplitudy rychlosti v0. Složka energie kinetické roste na úkor složky energie potenciální. Jakmile EP nabude maximální hodnoty (v BO), začne se „přelévat“  ve složku energie kinetické EK. Jakmile kinetická energie EK nabude svého maxima (v RP), začne se umenšovat na úkor energie potenciální EP atd. Tento jev se periodicky opakuje.

Úloha

Verbální zadání:

Najděte rychlost a zrychlení v okamžiku u harmonického pohybu daného rovnicí .

 

Matematizované zadání:

 ;   ;

v = ?; a = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

… rychlost harmonicky kmitajícího bodu;

… zrychlení harmonicky kmitajícího bodu.

Obecný a konkrétní výsledek:

 

Odpověď:

Rychlost a zrychlení v okamžiku u harmonického pohybu daného rovnicí  je:

 

Problém

Verbální zadání:

Charakterizujte časové rozvinutí celkové rychlosti a celkového zrychlení harmonického kmitavého pohybu (v analogii s časovým rozvinutím elongace).

Návod řešení:

Nechť jsou fyzikální veličiny popisující kmitavý pohyb:

v0 … rychlost pohybu rovnoměrného po kružnici, má směr tečny, amplituda okamžité rychlosti kmitavého pohybu [m·s-1],

v … průmět v0 do y-ové osy a velikost okamžité rychlosti [m·s-1],

vx, vy … souřadnice okamžité rychlosti [m·s-1],

T … úhlová rychlost (frekvence) pohybu rovnoměrného po kružnici a kmitavého pohybu [rad·s-1],

f … frekvence prostá (kmitočet) [s-1] = [Hz].

a0 … zrychlení pohybu rovnoměrného po kružnici, má směr do středu O, amplituda okamžitého zrychlení kmitavého pohybu [m·s-2],

a … průmět a0 do y-ové osy a velikost okamžitého zrychlení [m·s-2],

ax, ay … souřadnice okamžitého zrychlení [m·s-2].

Poznámka: znaménko mínus symbolizuje směr zrychlení, který je vždy opačný než směr okamžité výchylky.

Závěr:

Aplikace

Popište různé varianty kmitání oscilátorů: a) závaží na pružině, b) závaží na tyči, c) setrvačníku na hřídeli, d) matematického kyvadla, e) kuličky ve sférické ploše, f) kapaliny ve spojených nádobách.

Kmity jsou přirozeným pohybem hmoty, kmitat mohou tělesa mikrofyzikálně i mikrofyzikálně (atomy pevných látek vykonávají ohromné množství kmitů kolem rovnovážné polohy, čím je teplota vyšší, tím více částice kmitají).