Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Nucené kmity jsou výsledkem působení budícího oscilačního zařízení na buzený oscilátor prostřednictvím vazby. Toto vnější silové působení je harmonicky proměnné s úhlovou frekvencí W a s amplitudou F0

Kromě vnější budící síly působí na buzený oscilátor síla pružnosti (Hookova deformační) s koeficientem tuhosti oscilátoru k a elongací y

a síla tlumící s koeficientem odporu R a v rychlostí oscilací

.

Výslednice všech uvedených sil uděluje buzenému oscilátoru zrychlení a

.

Řešení této pohybové rovnice je součtem dvou řešení, a to elongací tlumených kmitů a elongací buzených kmitů

.

Matematický zápis tlumených kmitů podává informaci, že se kmitavý pohyb utlumí až po nekonečně dlouhé době, fyzikálně reálně však tlumené kmity nelze považovat za existující, pokud nejsou pozorovatelné a měřitelné (jejich amplituda neklesne teoreticky na nulu nikdy, reálně klesne až na amplitudu tepelných kmitů, které se dějí neustále).

Elongace y výsledného kmitání nucených kmitů o amplitudě Y, úhlové frekvenci Ω a počáteční fázi y, což znamená, že vlastní kmity se utlumí v určitém čase a výsledné kmitání nucené se bude dále realizovat pouze vlivem působení vnější budící síly.

Z pohybové rovnice lze dále odvodit velikost maximální amplitudy nucených kmitů při rezonančním jevu

,

Ke kterému dochází, pokud si jsou frekvence ω, Ω  buzeného a budícího oscilátoru blízké, anebo si jsou dokonce rovny. Rezonanční kmity se dějí s rezonanční frekvencí Wr , pro kterou platí

.

Za podmínky, že

hovoříme o pod-kritickém buzení, kdy se právě projevuje pravá rezonance. Na průběhu rezonanční křivky vidíme, že s rostoucím tlumením klesá rezonanční amplituda A, přičemž Wr rezonanční frekvence se zmenšuje a posouvá (doleva).

Teoretickým důsledkem analýzy by byl případ, že d = 0, potom Ωr = ω, což by znamenalo, že amplituda nucených kmitů by byla nekonečně velká. Prakticky však k takovému případu nikdy nemůže dojít, neboť u reálných oscilátorů tlumení existuje.

Úloha

Verbální zadání:

Naložený nákladní vagón má pružiny prohnuty o 7,9 cm. Při jaké rychlosti vagónu se pružiny silně rozkmitají účinkem nárazů kol na spoje kolejnic. Délka kolejnic je 12,5 m.

 

Matematizované zadání:

Y = 0,079 m; d = 12,5 m;

v = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Právě při rezonanci nastane maximální rozkmitání pružin. Při zanedbání tlumení musí být frekvence kmitů pružin odpovídající frekvenci nárazů na kolejnice.

Doba mezi dvěma po sobě jdoucími nárazy kol na spoje kolejnic je

Obecný a konkrétní výsledek:

 

Odpověď:

Rezonance je slyšitelná akusticky i cestujícími, vnímají ji jako periodicky se opakující zvuky.

Problém

Verbální zadání:

Porovnejte nucené a tzv. vázané kmity.

Návod řešení:

Reálně nelze uvažovat jednostranné působení oscilátoru O na rezonátor R, působení je vždy vzájemné, a to v důsledku vazby mezi oscilátory. Energie kmitů z budícího oscilátoru přechází v čase vazbou na rezonátor a naopak. Vazba vázaných oscilátorů může být volná, anebo těsná (těsnost zajistí např. další vázaný oscilátor, závaží Z na závěsu). Maximální přenos energie se uskuteční jedině tehdy, je-li frekvence obou oscilátorů (vlastních a nucených kmitů) stejná, anebo alespoň blízká. Hovoříme pak o rezonanci čisté (pravé).

Pokud není rezonanční podmínka splněna (např. matematická kyvadla nejsou stejně dlouhá), dojde jen k rezonanci částečné. Je-li totiž W>>w0 , potom E1>>E2. Oba oscilátory si mohou energii přelévat opět vzájemně, ale jen menší energii E2. Rezonátor pak bude opět „rezonovat“, ale změna E1 ± E2 nemusí být pozorovatelná.

Závěr:

Někdy je rezonance mezi budícím oscilátorem a vázaným oscilátorem žádoucí za účelem maximálně možného zvýšení amplitud kmitů, někdy je naopak nežádoucí z destrukčních důvodů, které tyto maximálně možné amplitudy kmitů mohou mít. U vázaných kmitů dochází k přelévání energie kmitů z jednoho oscilátoru na druhý a u nucených kmitů předpokládáme, že frekvence oscilátorů si blízké nejsou, tj. přelévání energie se rovněž realizuje, ale v takové míře, že není pozorovatelné.

Aplikace

Vysvětlete princip rezonance pro hudební praxi. Pozitivní vliv rezonance, tj. zesílení primárně generovaného zvuku (strunou) sekundárně rezonanční komorou (rezonanční dutinou těla kytary, houslí, píšťal apod.).

http://nd03.jxs.cz/229/952/3986577c42_58018707_o2.jpg

Vysvětlete princip rezonance pro technickou praxi. Destrukční účinky rezonance mohou narušit stavby (mosty, věže), být nebezpečné provozu dopravních prostředků, anebo dezintegrovat zdánlivě pevný materiál.

Pokud má vlastní frekvence skleničky hodnotu frekvence generovaného zvuku, pak se může roztříštit, obdobně dezintegrační vlivy se mohou objevit na povrchu kapaliny.