Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Kmity lze skládat, tj. superponovat, přičemž rozeznáváme skládání kmitů:

  • téhož směru, téže (popř. jiné) frekvence;
  • téhož směru, málo odlišných frekvencí (rázy),
  • kolmých, téže frekvence (Lissajoussovy křivky),
  • různých směrů, téže (popř. jiné) frekvence.

Můžeme provádět i postup opačný, tj. složené kmity rozkládat na dílčí kmitání. Proces tohoto rozkladu je podstatou velmi důležité oblasti fyziky (akustiky i optiky), a to Fourierovy harmonické analýzy. Obecné periodické funkce lze obecně rozvinout v součet nekonečně mnoha harmonických pohybů.

Na obr. je časový diagram složeného kmitání s elongací y a poměrem frekvencí složek 1:2; jde o příklad superpozice dvou kmitů téhož směru (elongace y1, y2 lze proto sčítat pouze algebraicky).

Základní podmínkou superpozice kmitání je koherence. Jde o kmitání se stejnou frekvencí, se stejným směrem kmitání a se stejnou fází, anebo se stejným fázovým rozdílem. Lze popsat základními rovnicemi kmitů:

S ohledem na konstantní rozdíl fází Dj bude výsledný pohyb rovněž pohyb harmonický. Lze odvodit, že výsledná amplituda Y složených kmitů bude

Pokud budou kmity ve stejné fázi, bude výsledná amplituda maximální

Pokud budou kmity ve fázi opačné, bude výsledná amplituda minimální

Úloha

Verbální zadání:

Dva harmonické oscilátory kmitají tak, že v počátečním okamžiku mají okamžitou výchylku ·ymax, ale kmitají opačným směrem. Určete počáteční fáze a fázový rozdíl kmitání obou oscilátorů.

Matematizované zadání:

T0 = 0 s ; y0 =·ymax ; φ1=? ; j2 = ? ; Δj = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Obecný a konkrétní výsledek:

Odpověď:

Na začátku kmitání (t = 0 s) je součet elongací nulový

Problém

Verbální zadání:

Blackburnovo kyvadlo je mechanický oscilátor generující Lissajousovy obrazce, které vznikají při skládání dvou  kolmých kmitů. Kyvadlo má horní část závěsu dvojitou, spodní je jednoduchá a k ní je připevněna nádobka naplněná pískem nebo jiným vhodným sypkým materiálem. Kyvadlo lze přibližně považovat za dvě  matematická kyvadla s délkami závěsů l1, l2. Těmto délkám závěsů pak odpovídají periody T1, T2, pro které platí vztahy  a . Určete, jak budou vypadat pískové obrazce vytvořené na rovině pod kmitajícím kyvadlem.

Návod řešení:

Nastavíme-li periody (resp. délky závěsů) kyvadel tak, aby poměr kmitů byl vyjádřen podílem dvou celých čísel, bude kyvadlo (přesněji těžiště kmitající nádobky s pískem) opisovat poměrně jednoduché křivky, tj. Lissajousovy obrazce.

.

Závěr:

Kyvadlo se kýve ve dvou na sebe navzájem kolmých směrech, obrazce vznikají podle nastavených poměrů frekvencí a fázových posunutí. Nejčastěji jsou tyto obrazce využity při osciloskopických zobrazeních.

Aplikace

Jestliže je rozdíl frekvencí f1, f2 malý, složeným kmitáním jsou rázy, tj. neharmonické kmitání, jejichž amplituda výchylky se pravidelně mění. Při postupném přibližování frekvencí se frekvence rázů zmenšuje, až při f1, f2 rázy zanikají. Tohoto jevu se využívá v technické praxi např. při měření frekvence.

U zvuku se rázy nazývají zázněje. Slyšíme je jako periodické zesilování a zeslabování zvuku. U hudebních nástrojů se tohoto jevu využívá k ladění, jestliže budeme frekvenci jednoho zdroje zvuku měnit, zvuk bude stále méně kolísat, až rázy (zázněje) zaniknou zcela, oba zdroje zvuku jsou pak naladěny na stejnou frekvenci.

Lissajousovy obrazce jsou nejčastěji využity při reálných osciloskopických nebo simulovaných softwarových zobrazeních. Využívány mohou být zejména v laboratořích pro přesné zjišťování neznámých frekvencí.