Text Úloha Prolblém Aplikace Domů
Text

Rovnice kontinuity (spojitosti toku) pro ustálené (stacionární) prouděníideální kapaliny (dokonale nestlačitelné a dokonale tekuté) v uzavřené vodorovné trubici popisuje vztah mezirychlostíprouděnívaobsahemprůřezuS, a to v daném průřezu dané trubice. Rovnice kontinuity pro ideální plyny neplatí, protože jsou dokonale stlačitelné, případně u reálných plynů platí přibližně za specifických podmínek, protože hustota reálných plynů není konstantní.

Různými průřezy trubice S1, S2 projdou za stejnou dobu Dt stejné hmotnosti kapaliny m1, m2 a rovněž stejné objemy kapaliny V1 a V2. Součin obsahu příčného řezu S proudové trubice a velikosti rychlosti kapaliny v je ve všech místech trubice konstantní, tzn. že je konstantní jejich objemový průtok.

Z rovnice kontinuity především plyne, že poměr rychlostí v1 a v2 proudění ve dvou místech je převrácený k poměru obsahů průřezů S1 a S2 téže rubice v těchto místech, tedy čím užší trubice, tím rychlejší proudění a naopak

Rovnici kontinuity lze zobecnit i pro stlačitelné kapaliny. Hustota ρ stlačitelných kapalin se sice mění, proto se nezachovává objemový tok QV, ale zachovává se hmotnostní tok Qm. Rovnici kontinuity lze pak řešit bez zanedbání hustoty kapaliny,

tj. při ustáleném prouděnístlačitelné kapalinyje hmotnostní tok kapaliny v libovolném kolmémprůřezuproudové trubicekonstantní.

Úloha

Verbální zadání:

Potrubím o průměru 0,156 m protéká kapalina o hustotě 900 kg·m-3. Hmotnostní průtok kapaliny je 5·104 kg·hod-1. Určete průtočné množství kapaliny QV a střední rychlost vS.

Matematizované zadání:

d = 0,156 m Þr = 0,078 m ; ρ = 900 kg·m-3 ; Qm = 5·104 kg·hod-1 = 13,8 kg·s-1 ;

QV  = ? ; vS = ?

Fyzikální vztahy jako návod pro řešení:

Objemový průtok QV určíme jako objem V vody, která proteče průřezem o poloměru r za určitý čas t, a to střední rychlostí vS.

Hmotnostní průtok Qm určíme jako hmotnost m vody, která proteče průřezem o poloměru r za určitý čas t, a to střední rychlostí vS.

Obecný a konkrétní výsledek:

Odpověď:

Průtočné množství vody je 15 litrů za sekundu při střední rychlosti toku 0,8 m·s-1.

Problém

Verbální zadání:

Podle rovnice kontinuity bychom očekávali, že u vodorovné trubice konstantního průřezu bude ve všech manometrických trubicích kapalina měřena ve stejné výšce, ale v reálu vidíme, že tomu tak není (viz obr.) Vysvětlete proč.

Návod řešení:

Skutečné tekutiny (zejména kapaliny) se vyznačují větší či menší viskozitou, která ovlivňuje jejich proudění. Viskozita neboli vnitřní tření patří k disipativním silám, jejichž působení se projevuje úbytkem potenciální tlakové energie kapaliny. Na obr. je znázorněn výtok kapaliny otvorem u dna vodorovnou trubicí.

Závěr:

Předpokládejme, že volná hladina kapaliny v nádobě je trvale udržována ve stejné výši nade dnem nádoby konst. Za ideálního stavu by volná hladina kapaliny ve všech manometrických trubicích měla být ve stejné výši, a to níže než volná hladina kapaliny v nádobě. Protože platnost rovnice kontinuity musí být ve všech místech vodorovné trubice zachována, projevuje se podél trubice úbytek mechanické energie následkem viskozity proudící kapaliny postupným poklesem jejího statického tlaku. Výšku hP, která je mírou tohoto úbytku mechanické energie proudící viskózní kapaliny, nazýváme „ztracená“ výška. Výšku hv by kapalina v manometrických trubicích měla pouze tehdy, kdyby bylo vnitřní tření zanedbatelné a ke konverzi, tj. uživatelsky významné „ztrátě“ energie proudící kapaliny by nedocházelo.

Aplikace

V praxi známe z vlastní zkušenosti, že např. zúžením konce zahradnické hadice dosáhneme větší rychlosti tryskající vody, a proto dostříkneme do větší vzdálenosti.

Obdobně v letectví je využívána rovnice spojitosti toku tak, že nesouměrný tvar křídla letadla způsobí, že proudnice na horní straně křídla zhušťují, zatímco na spodní straně se jejich průběh nezmění; nad křídlem je tedy rychlost proudu větší než pod křídlem. Výsledná síla F působící na křídlo letadla je tak výslednicí pohybové složky Fx síly F a vztlakové složky Fy síly F.

Při měření toku krve. Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí 0,1 m·s-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí 0,001 m·s-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty a velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty.

Ropovod „Baku-Tbilisi-Ceyhan“ je ropovod, který vede 1 768 km z naftových polí v Kaspickém moři do Středozemního moře. První nafta byla vyčerpána z Baku roku 2005 a do Ceyhanu dotekla za rok. Potrubí má průměr 1 m a ropa se v něm pohybuje rychlostí 2 m·s-1. Ropovodem se dopraví za rok 49,512·109 litrů ropy, což je asi 311 mil barelů (1 barel je 159 litrů ropy).

Při měření průtoků vodních toků jde o množství vody, která proteče příčným profilem vodního toku za sekundu. Udává se v m3·s-1 nebo v l·s-1 jako součin průměrné rychlosti proudění a plochy průtočného profilu. Jednou ze základních metod měření průtoku je měření pomocí hydrometrické vrtule. Hydrometrická vrtule zjišťuje bodové rychlosti proudění v jednotlivých místech příčného profilu koryta, a to v různých vzdálenostech od břehu a v různých hloubkách. Počet jednotlivých měření ovlivní dobu celého experimentu. V závislosti na velikosti toku se měří obvykle průtok ve více svislicích, a to vhodně stanovených vzhledem k profilu průtočné plochy a ve 3 hloubkách (u dna, v polovině vodního sloupce a u hladiny). Z míst měření v různých hloubkách se vypočítá průměrný svislicový průtok. Dílčí průtok pro danou plochu se vypočítá vynásobením průměrné svislicové rychlosti příslušnou průtočnou plochou. Celkový průtok toku je pak součtem všech dílčích průtoků.