Teoretická příprava úlohy Obrázek Postup měření Závěr Domů
Teoretická příprava úlohy

Fyzické kyvadlo je fyzikálně obecně definováno jako těleso otočné s minimálním třením kolem vodorovné osy neprocházející jeho hmotným středem. Redukovaná délka d fyzického kyvadla je stejná jako délka matematického kyvadla, které kmitá synchronně s fyzickým kyvadlem. Je-li fyzické kyvadlo opatřeno dvěma břity vzdálenými o redukovanou délku d, jde o kyvadlo reverzní (převratné). Tohoto kyvadla se nejčastěji užívá k přesnému, přístrojově jednoduchému a spolehlivému a rovněž k rychlému zjištění hodnoty tíhového zrychlení pomocí měření jeho doby kmitu (např. v blízkosti rudných ložisek).

V souladu s teorií kmitání lze vyjádřit dobu kmitu fyzického kyvadla T   

,

kde J0 je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose procházející hmotným středem, m je hmotnost kyvadla a x je vzdálenost hmotného středu kyvadla od závěsného břitu (viz obr.).  

Řešíme-li uvedený fyzikální vztah jako kvadratickou rovnici (s neznámou x), potom součet redukovaných kořenů je roven záporně vzatému součiniteli u lineárního členu

.

Jelikož je fyzická vzdálenost obou závěsných břitů rovna součtu redukovaných kořenů x+ x2 a zároveň redukované délce d, můžeme vyhodnotit nepřímo tíhové zrychlení g

.

Reverzní kyvadlo je tedy právě takové fyzické kyvadlo, u něhož jeden z jeho břitů může být zavěšen ve vzdálenosti x1 nebo ve vzdálenosti x2, avšak v obou případech zavěšení bude toto kyvadlo kmitat se stejnou dobou kmitu T. Reverzní kyvadlo je vybaveno dvěma pevnými rovnoběžnými břity a výrazně hmotnou čočkou (vzhledem k hmotnosti tyče kyvadla). Tato čočka je v principu přídavným kotoučem - závažím nesymetricky umístěným na jednom konci kyvadla, kterým lze posunovat po šroubu podél délkového měřítka a odečítat tak přesně jeho polohu. Postupnou změnou polohy čočky lze dosáhnout stavu, kdy kyvadlo kývá kolem obou os právě s žádanou stejnou dobou kmitu T0. Tuto významnou polohu čočky a0 neurčujeme pokusně-náhodně, ale postupně-experimentálně (graficky-aproximovaně). Vyjádříme graficky závislost doby kmitu kyvadla na změně polohy čočky při zavěšení kyvadla do závěsu horním břitem a rovněž závislost doby kmitu kyvadla na změně polohy čočky při zavěšení kyvadla do závěsu dolním břitem. Hledanou hodnotu doby kmitu T0 pak vyčteme z grafu jako TP, tj. z průsečíků průběhů obou funkcí T´=T´(a) a T ˛ = T ˛ (a) . Poté změříme dobu kmitu T0 (pro kyvadlo s nalezenou polohou čočky a0) jak pro horní polohu čočky, tak pro dolní polohu čočky. Nepřímo měřenou hodnotu tíhového zrychlení g kontrolně porovnáme s přesně lokálně tabelovanou hodnotou (pro Ostravu uvažujeme přibližně 50° s.z.š., tj. 9,81 m · s-2).

Obrázek

Postup měření Tisknout protokol

1. Přímé měření redukované délky d reverzního kyvadla (vzdálenosti břitů)

n
d
[m]
Dd
[m]
(Dd)2
[m2]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
`d S (Dd)2

 

d = (`d  ± ud )

kde` je střední hodnota výsledku přímého měření,  

je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření,

d = ( .............. ± .............. )·10 ..... [m],

 je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

rd = .............. [%].

 

2. Měření závislosti doby kmitu na zvolených polohách čočky, a to postupnou metodou měření času

Polohy čočky a (a1 dolní polohu, a2 horní polohu) odečítáme na délkovém měřidle umístěném přímo na ose kyvadla, a to za účelem sestrojení grafu.

2.1. Měření doby kmitu T1´ pro dolní polohu čočky

a1 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T1´
[s]
( D T1´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T1´ = (` T1´ ±   uT1´ ) ,

kde ´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T1´ = ( ............... ± ............... ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T1´ = .......... [%].

 

2.2. Měření doby kmitu T1´´ pro horní polohu čočky

a1 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T1´´
[s]
( D T1´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T1´´ = (T1´´ ±   uT1´´ ) ,

kde   je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T1´´ = ( ............... ± ............... )·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T1´´ = .......... [%].

2.3. Tabulka měření doby kmitu T2´ pro dolní polohu čočky

a2 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T2´
[s]
( D T2´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T2´ = ( ` T2´ ±   uT2´ ) ,

kde ´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T2´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],  

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T2´ = .......... [%].

 

2.4. Měření doby kmitu T2´´ pro horní polohu čočky

a2 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T2´´
[s]
( D T2´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T2´ ´= ( ` T2´´ ±   uT2´´ ) ,

kde ´´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T2´´ = ( ............... ± .............. ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T2´´ = .......... [%].

2.5. Měření doby kmitu T3´ pro dolní polohu čočky

a3 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T3´
[s]
( D T3´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T3´ = ( ` T3´ ±   uT3´ ) ,

kde ´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T3´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],  

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T3´ = .......... [%].

 

2.6. Měření doby kmitu T3´´ pro horní polohu čočky

a3 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T3´´
[s]
( D T3´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T3´ ´= ( ` T3´´ ±   uT3´´ ) ,

kde´´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T3´´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s], ,

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T3´´ = .......... [%].

 

2.7. Měření doby kmitu T4´ pro dolní polohu čočky

a4 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T4´
[s]
( D T4´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T4´ = ( ` T4´ ±   uT4´ ) ,

kde ´ je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T4´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T4´ = .......... [%].

 

2.8. Měření doby kmitu T4´´ pro horní polohu čočky

a3 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T4´´
[s]
( D T4´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T4´ ´= ( ` T4´´ ±   uT4´´ ) ,

kde je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T4´´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T4´´ = .......... [%].

 

2.9. Měření doby kmitu T5´ pro dolní polohu čočky

a5 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T5´
[s]
( D T5´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T5´ = ( ` T5´ ±   uT5´ ) ,

kde je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T5´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T5´ = .......... [%].

 

2.10. Měření doby kmitu T5´´ pro horní polohu čočky

a5 = .............. [cm]

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T5´´
[s]
( D T5´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T5´ ´= ( ` T5´´ ±   uT5´´ ) ,

kde je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T5´´ = ( ................ ± ................ ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T5´´ = .......... [%].

 

3. Graf závislostí doby kmitu T na 5 zvolených polohách čočky a.

Průběh aproximujeme za účelem zjištění polohy čočky a0 (graf přílohou k laboratorní práci).

 

n

a

[cm]

Tn´

[s]

Tn´´

[s]

1. a1
2. a2
3. a3
4. a4
5. a5

 

Průsečík obou grafických závislostí TP = [ a0, T0 ]; TP = [ ................ ; ................ ].

 

4. Měření doby kmitu T0 při nastavení čočky do nalezené polohy a0, a to postupnou metodou měření času

 

4.1. Měření doby kmitu T0´ pro nalezenou dolní polohu čočky a0

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

 

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T0´
[s]
( D T0´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T0´ = ( ` T0´ ±   uT0´ ) ,

kde je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T0´ = ( ................. ± ............... )·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T0´ = .......... [%].

 

4.2. Měření doby kmitu T0´´ pro nalezenou horní polohu čočky a0

(pro n = 50 kmitů měřených ve 3 skupinách (s = 3) po 30 kmitech)

s počet kmitů
t1
[s]
počet kmitů
t2
[s]
[s]
[s]
D T0´´
[s]
( D T0´´ )2
[s2]
1. 0 0 30
2. 10 40
3. 20 50

 

T0´ ´= ( ` T0´´ ±   uT0´´ ) ,

kde je střední hodnota výsledku měření doby kmitu,

 je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření;

T0´´ = ( ............... ± ............... ) ·10 ..... [s],

  je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T0´´ = .......... [%].

Vyhodnocení výsledku měření a Závěr

Vyhodnocení výsledku měření

Hledaná doba kmitu T0 reverzního kyvadla s čočkou nastavenou v hledané poloze a0 je

T0 = (`T0 ± uTo) ,

kde je střední hodnotavýsledku dílčího nepřímého měření,  

 je odhadovaná absolutní nejistota výsledku tohoto měření,

T0 = ( ............... ± ............... ) ·10 .....[s],

 je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

  r T0 =.......... [%].

 

Hledané tíhové zrychlení g je

g = ( ` ±   ug) ,

kde  je střední hodnota výsledku nepřímého měření,

je absolutní nejistota (typu A) výsledku tohoto měření,

 je relativní nejistotavýsledku měření;

je relativní diference výsledku měření a tabelované hodnoty.

 

Závěr

Změřili jsme tíhové zrychlení Země v Ostravě, a topomocí reverzního kyvadla

g = ( ............... ± ............... )·10 ..... [m · s-2],

s relativní nejistotou výsledku měření rg = ............... [%],

s relativní diferencí mezivýsledkem měření a tabelovanou hodnotou rDTAB,g = ............... [%].