Teoretická příprava úlohy Obrázek Postup měření Závěr Domů
Teoretická příprava úlohy

Teoreticky je matematické kyvadlo fiktivní oscilátor, tj. hmotný bod zavěšený v pevném bodě na nehmotném závěsu. Prakticky lze matematické kyvadlo realizovat jako kuličku malého objemu a značné hmotnosti m (nejlépe kovovou) zavěšenou na konci nepružného vlákna zanedbatelné hmotnosti a délky l. Tento oscilátor se může volně otáčet kolem pevného bodu O v důsledku tíhového zrychlení g. Předpokládáme, že se hmotný bod pohybuje po části kružnice ve vertikální rovině, přičemž A je bod v rovnovážné poloze a bod B je v bodě obratu (viz obr. - z metodických důvodů je úhel φ vychýlení závaží z rovnovážné polohy zvolen velký, tj. sice odpovídající neharmonickým kmitům, ale rozklad tíhy závaží je názorně viditelný).

 

Vychýlíme-li matematické kyvadlo z rovnovážné polohy o úhel j, rozloží se tíha G závaží

G = m · g

na dvě složky, a to na složku pohybovou a složku tahovou.

Složka pohybová Ft (ve směru tečny k trajektorii) souvisí s rychlostí a se zrychlením pohybu závaží v gravitačním poli Země

.

Složka tahová Fn (normálová ve směru kolmém k tečně) má směr závěsu a napíná závěs, tj. nemá pohybový účinek na těleso, ale deformačně silový účinek na závěs

.

Při harmonickém pohybu je úhel vychýlení φ relativně extrémně malý (menší než 5°), takže lze přibližně uvažovat, že se části kruhového oblouku blíží úsečce, tj. . Pro takto velmi malé úhly platí goniometricky, že . Jinými slovy (viz obr.)

.

Vyjádření pohybové složky pak lze zjednodušit

.

Podle Newtonova zákona síly můžeme rovněž pohybovou složku popsat obecně platně

.

Protože platí, že obě vyjádření síly popisují významově jednu a tutéž sílu , tak současně platí, že . Pokud dosadíme za úhlovou frekvenci dobu kmitu T, tak můžeme tvrdit, že perioda kmitů matematického kyvadla je při malé amplitudě kmitů dána přibližně vztahem

.

Pro úhel j = 5° je chyba tohoto přiblížení asi 0,05 %; pro úhel j 22° asi 1 %. Zanedbáme-li odpor prostředí (vzduchu), dále malou odchylku momentu setrvačnosti, zanedbáme-li při měření po relativně kratší časový interval ztráty třením v závěsu  a měříme-li délku závěsu přesně od bodu O ne do bodu zavěšení kuličky, ale do jejího těžiště, tj. do jejího geometrického středu, můžeme pro výpočet periody T harmonického kmitavého pohybu prakticky, jednoduše a dostatečně přesně vycházet z téže závislosti.

Tíhové zrychlení g pak vyjádříme opět jednoduše pomocí doby kmitu

.

Obrázek

Postup měření Tisknout protokol
  • Přístrojové vybavení pro realizaci experimentu: základní jednotka Cobra 3 se zdrojem, řídicí jednotka Cobra 3; světelná závora; stojanový podstavec tříbodový PASS, svorky, stojan; nit; délkové měřidlo; ocelová kulička s očkem průměru d = 24,4 mm nebo ocelová kulička s háčkem průměru d = 19,1 mm; 4 ks konektorů.
  • Světelnou závoru připojíme k základní jednotce Cobra 3: zemnicí zdířku a +5V zdířku světelné závory připojíme na odpovídající zemnicí a 5 V/max 0,2 mA zdířku Cobra 3 základní jednotky (viz obr.). Imp.Out zdířku světelné závory připojíme na START a STOP zdířky čitače TIMER/COUNTER 2 základní jednotky Cobra 3.

  • Základní jednotka Cobra 3 je připojena k řídicí jednotce Cobra 3-COM unit (viz obr.). Zavěsíme kuličku na nit tak, aby závěs měl požadovanou délku, tj. světelnou závoru upravíme tak, aby detekční paprsek byl přerušován závěsem (nikoliv kuličkou) a aby jej závěs protínal právě v rovnovážné poloze.

  • Zapneme řídicí jednotku Cobra 3-COM a vyčkáme, než systém dokončí autokontrolu. Poté zmáčkneme tlačítko MAIN MENU (3). Otáčením kolečka (10) vybereme volbu Port Config a potvrdíme ji stisknutím tlačítka ENTER (6). Podobně pak zvolíme dvakrát Timer/Counter a pak Timer/C2. Select Config, TC2-Trigger a nastavíme režim zahájení a ukončení měření času Start/Stop . Zmáčkneme dvakrát tlačítko ESCAPE (7), vybereme volbu Timer/C2 a potvrdíme tlačítkem ENTER. Systém je nyní připraven k měření doby kyvu T/2, tj. kyvu kmitavého pohybu kyvadla (kyv je polovinou kmitu).
  • Vychýlíme vlákno s kuličkou přibližně o úhel j = 5°, zmáčkneme tlačítko START (14) a kuličku zlehka uvolníme. Získáme první hodnotu doby kyvu a zapíšeme ji do tabulky. Dále můžeme nechat kyvadlo kývat a další hodnotu změříme opětovným stiskem tlačítka (14). Opakujeme měření, dokud nezískáme alespoň 10 hodnot T/2  pro první zvolenou délku závěsu l.
  • Přímá měření opakujeme pro druhou délku závěsu.
  • Finální vyhodnocení výsledku měření doby kyvu pak deklarujeme jako zprůměrované ze dvou dílčích přímých měření dvou různě dlouhých závěsů (se dvěma různými dobami kyvu).

 

1. Přímá měření 1. délky závěsu a 1. doby kyvu

n l Dl

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

l = (`l ± ul ) ,

kde je střední hodnota výsledku přímého měření;

je absolutní nejistota výsledku tohoto měření;

l1 = ( ............... ± ............... ) ·10 ..... [m];

 je relativní nejistota výsledku tohoto měření;

r l1 = ............... [%].

 

,

kde   je střední hodnota výsledku přímého měření;  

je absolutní nejistota výsledku tohoto měření;

T/21 = ( .....………. ± ………. ) ·10. . . [s],

 je relativní nejistota výsledku tohoto měření,

r T/2 1 = .......... [%],

 

2. Přímá měření 2. délky závěsu a 2. doby kyvu

n l Dl

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

l2 = ( ............... ± ............... )·10 ..... [m];

rl 2 = ............... [%].

T/22 = ( ............... ± ............... )·10 ..... [s];

rT/2 2 = ............... [%].

Vyhodnocení výsledku měření a Závěr

Vyhodnocení výsledků měření

;

;

;

;

g = ( ` ±   ug ) ,

kde  je střední hodnota výsledku nepřímého měření;

 

je absolutní nejistota výsledku tohoto měření,

 je relativní nejistota výsledku tohoto měření;

  je relativní diference mezi výsledkem a tabelovanou hodnotou.

 

Závěr

 

Změřili jsme pomocí matematického kyvadla a základní jednotky Cobra3 Phywe

tíhové zrychlení Země (lokálně - v Ostravě, tj. přibližně na 50° s.z.š.)

g = (………. ± …..) ·10. . . [m · s-2] ,

a to s relativní nejistotou výsledku měření

r g = .......... [%]

a s relativní diferencí mezi výsledkem měření a lokálně tabelovanou hodnotou

r D TAB,g = .......... [%].